バタワースフィルタ

バタワースは、振幅特性の2乗が次の形をしているアナログローパスフィルタだ。

$N$ は次数、$\Omega_c$ はカットオフ角周波数だ。絶対値をとると

正解だ、計算が速いな。$\frac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$、デシベルで言うと $-3\,$dB。カットオフとは利得が $-3\,$dB に落ちる点と定義される。バタワースはこの$-3\,$dB点が次数によらず必ず $\Omega_c$ に来るのが特徴だ。

通過域だ。式 (B.1) を $\Omega=0$ のまわりでテイラー展開してみると意味がはっきりする。$x = (\Omega/\Omega_c)^{2N}$ は小さいので $\frac{1}{1+x} \approx 1 - x$、つまり

「平らな 1」からの最初のズレが $\Omega^{2N}$ で効いてくる。ここに具体的な次数を入れてみろ。

• $N=1$ なら $|H|^2 \approx 1 - (\Omega/\Omega_c)^2$。ズレは $\Omega^2$ の項から始まる
• $N=2$ なら $|H|^2 \approx 1 - (\Omega/\Omega_c)^4$。$\Omega^2$ の項が消え、ズレは $\Omega^4$ から
• $N=3$ なら $\Omega^6$ から、…

$\Omega=0$ 付近で $\Omega^2$ より $\Omega^4$、$\Omega^4$ より $\Omega^6$ のほうがずっと小さい（$\Omega=0.1$ なら $0.01$ vs $0.0001$ vs $0.000001$）。だから次数 $N$ が高いほど、低周波での平坦さが増す。$N$ を上げるほど「最初のズレ」がより高次の項に追いやられ、$\Omega=0$ のまわりがベタッと平らに保たれる。これが最大限平坦（maximally flat）の正体だ。リップルが一切ないのがバタワースの売りで、チェビシェフはリップルを許す代わりに遷移帯を急にする別の設計思想、バタワースは「平坦さ最優先」だ。

そこに気づけば完璧だ。次数を上げると遷移帯が急峻になり阻止域が深くなる。でも $-3\,$dB点は $\Omega_c$ に固定。だから「カットオフ位置はそのままに、切れ味だけ上げたい」なら次数を上げればいい。

極の配置も見ておこう。式 (B.1) を $s$ 平面に拡張して分母を 0 にする極を求めると、半径 $\Omega_c$ の円周上に等間隔に $2N$ 個並ぶ。そのうち左半平面（実部が負）の $N$ 個だけを採用する。

第15章の安定性を思い出せ。連続系では「極の実部が負（左半平面）なら安定」だ（離散の「単位円の内側」に対応する）。右半平面の極を選ぶと発散する不安定なフィルタになる。同じ円周上に候補が $2N$ 個あるうち、安定になる左半分の $N$ 個を取る。極が円周上に並ぶから、半径 $\Omega_c$ はそのまま $-3\,$dB のカットオフになる、というわけだ。

次数を上げると計算量が増え、群遅延も大きくなる。だから「仕様を満たす最小の $N$」を選ぶ。仕様は2点で与えられるのが普通だ。

• 通過域端 $\Omega_p$ で、減衰が $A_p\,$dB 以下（ここまでは通したい）
• 阻止域端 $\Omega_s$ で、減衰が $A_s\,$dB 以上（ここから止めたい）

減衰 $A$ [dB] は $A = -20\log_{10}|H|$、つまり $|H|^2 = 10^{-A/10}$ だ。式 (B.1) に代入して2本の不等式を立てる。

そうだ。2式を等号で結んで $\Omega_c$ を消去すると、$N$ について解ける。結果はこうなる。

この値を満たす最小の整数が必要な次数だ。次数は整数だから、計算結果を切り上げる。

例を出そう。$\Omega_p = 1$、$\Omega_s = 2$（阻止域端が通過域端の2倍）、通過域減衰 $A_p = 1\,$dB、阻止域減衰 $A_s = 40\,$dB としよう。まず分子の中身を計算する。

比をとると $9999 / 0.259 \approx 38600$。その常用対数は $\log_{10}(38600) \approx 4.586$。分母は $2\log_{10}(2/1) = 2 \times 0.301 = 0.602$。

そのとおり。$N=7$ ではわずかに足りず、$N=8$ で満たす。あとは式 (B.3) で8個の極を左半平面に並べてアナログ伝達関数 $H_a(s)$ を組み立て、それを第16章の双線形変換でディジタルの $H(z)$ に変換すれば、IIRローパスフィルタが完成する。

その実感が一番の収穫だ。バタワースは「平坦さ優先・リップルなし・カットオフ不変・次数で切れ味を調整」というクセを覚えておけば、設計の現場で最初に試す定番として十分使える。