フーリエ変換の性質(3): パーセバルの等式 — 正規直交展開としてのフーリエ変換

今日は表というより、フーリエ変換の見方そのものをひっくり返す回だ。まず結論の式を見せる。パーセバルの等式だ。フーリエ級数版はこう書く。

フーリエ変換版はこうだ。

それがこの等式の主張だ。$|f(t)|^2$ は信号の瞬間ごとのパワー（電力みたいなもの）で、それを足し合わせた量をエネルギーと呼ぶ。(9.1) の左辺は時間の世界で測ったパワー（1周期平均）、右辺は各周波数成分のパワー $|c_k|^2$ を全部足したもの。一言でいうと、

信号のエネルギーは、時間で測っても、周波数で測っても、同じ値になる。

その「当然な気がするけど不思議」を、きっちり腑に落とすのが今日のゴールだ。デモで先に数字を見ておけ。時間の世界で測ったパワーと、周波数の世界で測った $\sum|c_k|^2$ を2本の棒で並べてある。

そう、どの $N$ でも両者は厳密に一致する。$N$ を打ち切った部分和の段階でも、時間側と周波数側のパワーは必ず釣り合う。なぜそうなるのか――その理由が今日の本題だ。鍵は「関数をベクトルだと思う」ことにある。

見た目は違う。だが「足し算できて」「定数倍できる」という骨格だけ見ると、両者はそっくりだ。ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ は足せるし定数倍できる。関数 $f, g$ も $f + g$ や $2f$ が作れる。この構造が同じなら、ベクトルでできた話は関数にも持ち込める。

決め手は内積だ。ベクトルの内積は $\vec{a}\cdot\vec{b} = \sum_i a_i b_i$、成分ごとに掛けて足したものだったな。関数版の内積はこう定義する。

よく覚えてた。実数なら共役は気にしなくていい。さて、内積が定義できたらノルム（ベクトルの長さ）も定義できる。自分自身との内積の平方根だ。

見覚えがあるだろう。これはパーセバルの等式 (9.2) の左辺、つまり信号のエネルギーそのものだ。

つながってきたな。関数を「無限次元のベクトル」とみなすと、エネルギーは「そのベクトルの長さの2乗」だ。長さは座標系を変えても変わらない――この事実がパーセバルの正体になる。

普通の2次元ベクトルで準備運動しよう。$\vec{v}$ を $x$ 軸方向の単位ベクトル $\vec{e}_1$ と $y$ 軸方向の $\vec{e}_2$ で分解する。

このとき座標 $v_1$ はどう求めた?

完璧だ。それができるのは $\vec{e}_1, \vec{e}_2$ が正規直交基底だからだ。「正規」＝長さが1、「直交」＝互いに垂直（内積が0）。この性質のおかげで、ある軸への座標は「その軸の基底ベクトルとの内積」できれいに取り出せる。

ここで第1章・第2章を思い出せ。複素フーリエ級数は

だった。これは「関数 $f$ を、$e^{jk\omega_0 t}$ という基底たちで分解した式」だと読める。そして基底になっている指数関数たちは――内積 (9.3) で測ると――ちゃんと直交している。第2章でやった直交性だ。ただし「直交」までは言えても、まだ「正規」（長さ1）ではない。実際、$e^{jk\omega_0 t}$ の長さの2乗を測ってみると

になる（$|e^{j\theta}| = 1$ だから中身は常に $1$）。長さの2乗が $1$ ではなく $T_0$ なのだ。第2章で内積を計算したときに出てきた値 $T_0$ は、まさにこの「長さの2乗」だった。だから $\sqrt{T_0}$ で割って、長さをちょうど $1$ に揃える。

こうすると $\|\phi_k\|^2 = T_0 / (\sqrt{T_0})^2 = 1$ となって、これらは正規直交基底になる。$\langle \phi_k, \phi_l \rangle$ は $k = l$ のとき 1、$k \neq l$ のとき 0 だ。第2章では直交性を「内積の値 $T_0$」として見たが、ここではそれを $\sqrt{T_0}$ で割って $1$ に正規化した――同じ直交性の、目盛りを揃えた姿だ。

そのとおり。$f$ の「$\phi_k$ 軸方向の座標」は内積 $\langle f, \phi_k\rangle$ で取れる。展開してやると

になって、第2章で導いたフーリエ係数 $c_k = \frac{1}{T_0}\int f e^{-jk\omega_0 t} dt$ がちゃんと出てくる。

それがこの章でいちばん伝えたかった視点だ。フーリエ級数とは、関数という無限次元ベクトルを、$\{\phi_k\}$ という無限個の正規直交基底で座標分解する操作だ。2次元の $\vec{v} = v_1\vec{e}_1 + v_2\vec{e}_2$ と、構造はまったく同じ。次元が無限になっただけだ。

下準備が整った。2次元のピタゴラスの定理を思い出せ。$\vec{v} = v_1\vec{e}_1 + v_2\vec{e}_2$ の長さの2乗は

成分ごとの2乗の和だ。正規直交基底だから、交差項（$v_1 v_2$ 的なもの）は直交性で消えて、こんなにきれいになる。

その当たり前の定理を、無限次元の関数ベクトルにそのまま適用する。$f = \sum_k (\sqrt{T_0}\,c_k)\, \phi_k$ という正規直交展開の長さの2乗は、座標の2乗和になる。

左辺は $\|f\|^2 = \int_{-T_0/2}^{T_0/2} |f|^2 dt$ だから、両辺を $T_0$ で割ると

そういうことだ。**パーセバルの等式は、ピタゴラスの定理の無限次元版**にすぎない。「斜辺の2乗＝各辺の2乗の和」の各辺が、各周波数成分になっただけだ。

なぜ「時間で測っても周波数で測ってもエネルギーが同じ」なのか――答えは、ベクトルの長さは座標系を取り替えても変わらないからだ。時間領域は「各時刻の値」という座標系、周波数領域は「各周波数成分」という座標系。同じベクトルを違う正規直交基底で見ているだけだから、長さ（＝エネルギー）は当然変わらない。

最後に、周期的でない信号、つまりフーリエ変換の場合だ。第3章でやったように、周期 $T_0 \to \infty$ の極限を取ると、とびとびの係数 $c_k$ が連続なスペクトル $F(\omega)$ に化け、$\sum_k$ が $\frac{1}{2\pi}\int d\omega$ に化ける。同じ置き換えをパーセバルの等式に施すと

冒頭で出した (9.2) だ。中身の精神は級数版と1ミリも変わらない。$|F(\omega)|^2$ は周波数 $\omega$ 付近にどれだけエネルギーが詰まっているかを表すので、エネルギースペクトル密度と呼ばれる。

その通り。とびとびの軸が連続の軸になっただけで、「長さは座標系によらない」という核は不変だ。ここで性質の3部作は一区切りつく。時間シフトと変調、たたみこみと積、そしてパーセバル。この3つを携えて、次はいよいよ離散の世界――標本化定理へ進む。