ディジタルフィルタの解析

そこを今日ハッキリさせる。差分方程式で書かれた離散時間システムは、z 変換すると分数の形になる。

これが伝達関数だ。で、ここからが本題。$z$ に単位円上の点 $z = e^{j\omega}$ を代入すると、何が起きると思う?

そうだ。代入した $H(e^{j\omega})$ は周波数応答そのものになる。つまり「角周波数 $\omega$ の正弦波を入れたとき、出力がどれだけ大きくなって（振幅）、どれだけ位相がずれるか（位相）」を、複素数1個で表したものだ。

絶対値 $|H(e^{j\omega})|$ が振幅特性、偏角 $\angle H(e^{j\omega})$ が位相特性だ。

いい質問だ。$z = re^{j\omega}$ と書いたとき、$r=1$ の円周がちょうど「定常的な正弦波入力」に対応するからだ。$r>1$ や $r<1$ は増大・減衰する信号に対応する。フィルタにかける入力は基本的に「ずっと続く正弦波」を想定するから、その振る舞いを見るには単位円の上を一周すれば十分なんだ。$\omega$ を $0$ から $\pi$ まで動かせば、直流から最高周波数（ナイキスト）までの応答が全部見える。

ここで式 (15.1) の分子 $B(z)$ と分母 $A(z)$ を、それぞれ根の積に因数分解する。

分子を 0 にする $z_i$ を零点（zero）、分母を 0 にする $p_k$ を極（pole）という。$g$ はゲイン定数だ。

そのとおり。で、ここからが今日いちばん見てほしいところだ。式 (15.3) に $z = e^{j\omega}$ を代入して絶対値をとると、こうなる。

この $|e^{j\omega} - z_i|$ は何だと思う? 複素平面上の2点間の距離だ。

そういうことだ。つまり振幅特性はこう読める。

単位円上を $\omega$ に沿って歩いていく点から、各零点までの距離の積を、各極までの距離の積で割ったもの。

歩いている点が極の近くを通ると、分母の距離が小さくなって $|H|$ が大きくなる。つまり山ができる。逆に零点の近くを通ると分子の距離が小さくなって $|H|$ が小さくなる。谷だ。

その理解で完璧だ。言葉だけだと半信半疑だろうから、自分で極と零点をつまんで動かせる装置を用意した。これが本章の目玉だ。

体で覚えたな。極の角度が山の出る周波数を決め、極の半径（円にどれだけ近いか）が山の鋭さを決める。フィルタ設計とは結局、「どこに極と零点を置けば欲しい形になるか」を考える作業なんだ。

第14章で、$z$ 変換の逆変換をやると極が $r^n$ の形の時間波形を生むという話をしたな。極の位置を $p = re^{j\theta}$ とすると、対応する出力には $r^n$ がかかる。ここで $r$ は極の半径、つまり原点からの距離だ。

そういうことだ。だから安定性の条件はシンプルだ。

因果的な離散時間システムが安定 ⇔ すべての極が単位円の内側（$|p_k| < 1$）にある。

極が一つでも円の外（または円上）に出ると、入力が有限でも出力が時間とともに発散する。さっきのデモで「不安定!」が出たのは、極の半径が 1 以上になったときだ。

平気だ。零点は分子側、$H$ を 0 に近づける要素だから、どこにあっても発散はしない。安定性に効くのは極だけ。「極は檻の中、零点は自由」と覚えておけ。

ここまで振幅特性ばかり見てきたが、位相特性も同じくらい大事だ。とくに線形位相という性質が重要になる。

位相特性が $\angle H(e^{j\omega}) = -\omega \tau$ という、$\omega$ に比例する直線だったとしよう。$\tau$ は定数だ。このとき、入力の正弦波 $e^{j\omega n}$ は出力で

になる。つまりどの周波数の成分も等しく $\tau$ サンプルだけ遅れる。全部が同じだけ遅れるなら、波形の形は崩れない。ただ時間軸上を $\tau$ ぶん平行移動するだけだ。

波形がぐにゃっと歪む。これを位相歪みという。音声や画像では、振幅特性が同じでも位相が乱れると質感が劣化する。だから線形位相が望ましい場面が多い。

ここで朗報だ。インパルス応答が左右対称な FIR フィルタは、厳密に線形位相にできる。 $h[n] = h[N-1-n]$ という対称性があれば、位相は必ず $\omega$ の一次式になる。

IIR は因果的なままでは厳密な線形位相にできない。これは IIR の宿命だ。フィードバック（分母の極）があると位相が必ず曲がる。だから「波形を崩したくない、計算量は多くてもいい」なら対称 FIR、「少ない計算で急峻な特性が欲しい、多少の位相歪みは許す」なら IIR、という使い分けになる。

そのために群遅延を定義する。位相特性を $\omega$ で微分して符号を反転したものだ。

意味は「角周波数 $\omega$ 付近の成分が、何サンプル遅れて出てくるか」だ。位相が直線 $-\omega\tau$ なら、微分すると $-(-\tau) = \tau$ で、群遅延は全周波数で一定になる。これが線形位相の特徴だ。

そのとおり。下のデモで、対称 FIR と IIR の位相特性と群遅延を並べてある。フィルタを切り替えて見比べてみろ。

その「10」は、21タップの対称 FIR の中心位置 $M = (21-1)/2 = 10$ から来ている。対称フィルタは中心を境に折り返した形だから、ちょうど中心ぶんだけ一様に遅れる。きれいな数字になるだろ。

いい流れだ。解析の道具はこれで揃った。次章はいよいよ、欲しい特性から逆算してフィルタを設計する話に入る。