フーリエ変換の性質(2): たたみこみと積 — 線形時不変システムの入出力

そうだ。英語だと convolution。信号処理でいちばん使う演算と言っていい。まず定義を出すが、最初は記号の見た目に怯むな。連続信号 $x(t)$ と $h(t)$ のたたみこみ $(x * h)(t)$ はこう定義される。

離散信号なら積分が和になるだけだ。

落ち着け。記号の山に見えるが、やってる操作は4ステップの単純作業だ。離散版 (8.2) で説明する。出力の1点 $y[n]$ を作るのに、

1. $h[k]$ を左右反転して $h[-k]$ にする
2. それを $n$ だけスライドして $h[n-k]$ にする
3. $x[k]$ と $h[n-k]$ を各点で掛ける
4. 全部足し合わせる

これを $n$ を1つずつずらしながら繰り返すと、出力 $y[n]$ が全部埋まる。「反転・スライド・積和」だ。

いい質問だ。式 (8.2) を見ろ。$x[k]$ の引数は $k$、$h$ の引数は $n - k$。2つの引数を足すと $k + (n - k) = n$ で、いつも $n$ に揃う。「足して $n$ になる組み合わせの積を全部集める」のがたたみこみだ。$h$ 側の引数が $n - k$ で $k$ について減っていくから、$h$ は反転して見える。理屈はあとから効いてくるから、今は手を動かして体感しろ。下のデモだ。

それがたたみこみの全貌だ。最初に $x$ と $h$ がちょっとだけ重なり始め、完全に重なるあたりで出力が最大になり、すれ違って離れていく。台形みたいな形の出力ができただろ。式の意味なんて、この動きを一度見れば腹に落ちる。

ここからが本題だ。システムの話をする。システムとは、信号を入れたら別の信号が出てくる箱だ。マイク、スピーカー、アンプ、エコー、フィルタ――全部システムだ。入力 $x$ に対して出力 $y$ を返す。この箱の中身が次の2つの性質を持つとき、特別に扱いやすくなる。

1つ目、線形性。入力を定数倍したら出力も同じだけ定数倍され、2つの入力の和を入れたら出力もそれぞれの和になる。式で書くと、入力 $x_1$ に出力 $y_1$、$x_2$ に $y_2$ が対応するとき、

「重ね合わせが効く」ということだ。

2つ目、時不変性。入力を時間でずらしたら、出力も同じだけずれるだけで、形は変わらない。

「いつ入れても同じ反応をする」ということだ。この2つを持つ箱を線形時不変システム、略して LTI システムと呼ぶ。

筋道を立てる。まず、どんな入力信号もデルタ（インパルス）の足し合わせに分解できる。離散の単位インパルス $\delta[n]$ は、$n=0$ で 1、それ以外で 0 の信号だ。これを使うと任意の信号は

と書ける。$x[k]$ という高さの棒を、時刻 $k$ の位置に立てたものを全部足す、というだけの当たり前の式だ。

その「1本の棒」をシステムに入れたとき、何が出てくるかを名前で呼ぶ。単位インパルス $\delta[n]$ を入れたときの出力をインパルス応答と呼び、$h[n]$ と書く。箱を「ポン」と1回だけ叩いたときの反応だ。

ここで2つの性質を使う。まず時不変性 (8.4) より、$k$ だけ遅れたインパルス $\delta[n-k]$ を入れれば、出力も $k$ だけ遅れて $h[n-k]$ になる。次に線形性 (8.3) より、$x[k]$ 倍したインパルスの入力には $x[k]\, h[n-k]$ が応える。そして入力は (8.5) のとおりインパルスの和だから、出力もそれぞれの応答の和になる。

そう、それが結論だ。LTI システムの出力は、入力とインパルス応答のたたみこみになる。そしてこの式が言っているのはもっと強いことだ。$h[n]$ さえ分かっていれば、どんな入力 $x[n]$ に対する出力も計算できる。

**LTI システムは、インパルス応答 $h[n]$ ただ1つで完全に決まる。**箱を1回叩いて反応を記録すれば、その箱の振る舞いを全部知ったことになる。

その例えは悪くない。インパルス応答はシステムの「指紋」だ。

さて、ここでフーリエ変換を持ち出す。たたみこみ $y = x * h$ の両辺をフーリエ変換すると何が起きるか。結論から書く。

時間領域のたたみこみは、周波数領域では単なる掛け算になる。

なる。導出のスケッチを見せよう。連続版で $y(t) = \int x(\tau) h(t-\tau)\, d\tau$ をフーリエ変換する。

積分の順序を入れ替えて、内側で $t$ について積分する。$h(t-\tau)$ の部分には第7章でやった時間シフトの性質が効く。$h(t - \tau)$ を $t$ で変換すると $e^{-j\omega\tau} H(\omega)$ だ。

残った積分は $X(\omega)$ そのもの。だから $Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$ だ。

直観もある。複素指数 $e^{j\omega t}$ を LTI システムに入れると何が出てくるか考えろ。たたみこみで計算すると、

つまり $e^{j\omega t}$ を入れると、同じ $e^{j\omega t}$ が、$H(\omega)$ 倍されて出てくる。形は変わらず大きさと位相だけが変わる。

ど真ん中だ。複素指数 $e^{j\omega t}$ は LTI システムの固有関数で、その固有値が $H(\omega)$ だ。だから話は単純になる。フーリエ変換は信号を複素指数の重ね合わせに分解する操作だった。各成分はシステムを通っても形を変えず、ただ $H(\omega)$ 倍されるだけ。だから周波数ごとに $X(\omega)$ に $H(\omega)$ を掛ければそれが出力のスペクトル――それが (8.7) の正体だ。

この $H(\omega)$ を周波数応答と呼ぶ。インパルス応答 $h$ をフーリエ変換したものだ。$|H(\omega)|$ は「周波数 $\omega$ の成分を何倍にするか」を表す。ある周波数で $|H|$ が大きければその成分は強められ、小さければ弱められる。これがまさにフィルタリングだ。下のデモで体感しろ。

それが「時間のたたみこみ＝周波数の掛け算」の威力だ。移動平均という単純なたたみこみが、周波数の世界では「高い周波数を削る低域通過フィルタ」として働いている。$M$ を増やすと通過域が狭くなるから、邪魔な高周波がよく消える代わりに、本物の信号の細かい変化までなまる。このトレードオフをどう設計するかが、フィルタ設計の話だ――それは第12章でみっちりやる。

(8.7) は「時間のたたみこみ＝周波数の積」だった。第7章で見た双対性を思い出せ。鏡の反対側、つまり「時間の積」をフーリエ変換するとどうなると思う?

そのとおり。

時間領域で2つの信号を掛けると、周波数領域ではそれらのスペクトルのたたみこみになる（係数 $1/2\pi$ が付くのは連続フーリエ変換の流儀の都合だ）。(8.7) とちょうど役割が入れ替わっている。

いちばん大事な例が窓掛けだ。現実には信号を無限の長さで観測できない。ある有限の区間だけ切り出す。これは元の信号に、その区間だけ 1 で外が 0 の「窓」を掛ける操作だ。$x(t) \times w(t)$、まさに時間領域の積だ。

すると (8.8) より、観測したスペクトルは「本物のスペクトル $X(\omega)$」と「窓のスペクトル $W(\omega)$」のたたみこみになる。たたみこみは反転スライド積和でぼやける操作だったろ。

そのとおり。信号に窓を掛ける＝スペクトルがにじむ。これは避けられない代償で、にじみ方をなるべくマシにするために色々な窓関数（ハン窓・ハミング窓など）が考案された。その話は第11章でじっくりやる。今は「時間で切り取るとスペクトルがぼやける、その理由が (8.8) だ」とだけ覚えておけ。