フーリエ級数

ここで言う信号は、時間とともに変化する量のことだ。マイクで拾った音声の電圧、毎日の気温、株価、加速度センサの出力。横軸が時間 $t$、縦軸が値 $f(t)$ のグラフに描けるものは全部信号だと思っていい。

そのまんまだ。でだ、信号処理の出発点になる考え方を最初に言ってしまう。

逆に言えば、複雑な波形を「どのサイン波がどれだけ入っているか」に分解できる。この分解がフーリエ級数であり、この教材の最初のテーマだ。

いい疑いだ。なら目で確かめよう。下のデモは、サイン波を5本まで重ねられる装置だ。まず k=1 だけの状態を見ろ。ただのサイン波だな。そこに k=3、k=5 と追加していってみろ。

そういうことだ。足すサイン波の「周波数」と「振幅」をうまく選べば、好きな波形に好きなだけ近づけられる。あとはこの「うまく選ぶ」を数学にすればいい。

数学にするにあたって、まずは扱う信号を周期的な関数 $f(t)$ に限定する。周期を $T_0$ とする。つまり $f(t + T_0) = f(t)$ がすべての $t$ で成り立つ。周期的でない信号への拡張は第3章でやる。

段階を踏んだほうが結局速いんだ、常識的に考えて。で、この $f(t)$ がサイン波の足し合わせでできているとしよう。こう書ける。

ここで $\omega_0 = 2\pi / T_0$ だ。これがフーリエ級数だ。

部品ごとに見れば怖くない。順番に行くぞ。

まず先頭の $a_0$。これはただの定数だ。「サイン波の足し合わせ」のはずなのに定数が混ざっているのは変だと思うかもしれないが、周波数 0 のサイン波だと思えばいい。信号の中の振動しない成分、つまり平均値のオフセットで、直流成分と呼ぶ。

信号処理は電気工学育ちだからな。次に総和の中身だ。$k=1$ の項は $a_1 \cos \omega_0 t + b_1 \sin \omega_0 t$。角周波数 $\omega_0$ は、時間が $T_0$ 進むと位相がちょうど $2\pi$、つまり1周する速さだ。元の信号の1周期の間にちょうど1回振動するサイン波ということだな。これを基本波、$\omega_0$ を基本角周波数と呼ぶ。

そうだ。$k$ 倍の周波数の成分を第 $k$ 高調波と呼ぶ。ここで大事な注意がひとつ。式 (1.1) で足しているのは $k$ が自然数のものだけだ。つまり 1.5倍とか 2.7倍とか、半端な周波数のサイン波は入っていない。

逆だ。元の信号は周期 $T_0$ で繰り返すんだぞ。それを組み立てる部品が、$T_0$ の区間にすっぽり整数回収まらないサイン波だったらどうなる? 足し合わせた結果が $T_0$ で繰り返さなくなるだろ。周期 $T_0$ の信号を作る部品は、周期 $T_0$ で「辻褄が合う」ものに限られる。それが整数倍の周波数ってことだ。

そういう理解でいい。具体例で言うと、基本周期が 0.01 秒なら基本周波数は 100 Hz。信号は直流成分と、100 Hz、200 Hz、300 Hz、… の成分に分解される。102 Hz や 250 Hz の成分は出てこない。

残念、できないものもある。

落ち着け。「数学的に意地悪な関数では破綻する場合がある」というだけで、実験データとか音声とか、信号処理の対象にしたくなる現実の信号ではまず問題にならない。厳密な収束条件が気になるなら、それは数学の教科書（フーリエ解析）の守備範囲だ。この教材では「実用上は分解できる」で先に進む。

それがこの節の本題、フーリエ係数の求め方だ。作戦はこうだ。式 (1.1) の両辺に細工をして、欲しい係数以外が全部消えるようにする。残った方程式を解けば係数が手に入る。

ある。いちばん簡単な $a_0$ からやろう。両辺を1周期分、$-T_0/2$ から $T_0/2$ まで積分する。

積分と総和の順序は入れ替えていいことにした（これについては 1.4 節で触れる）。さて、右辺の総和の中の積分、これが全部 0 になるんだが、わかるか?

正解だ。やればできるじゃないか。式で書くと、任意の自然数 $k$ について

なので式 (1.2) の右辺は $a_0$ の項だけが生き残る。

そのとおり。サイン波の足し合わせ部分はどう頑張っても平均 0 だから、信号の平均値はまるごと $a_0$ が背負うしかない。「直流成分=平均値」だ。

だから細工を一段階強くする。欲しい成分と同じサイン波を掛けてから積分するんだ。鍵になるのは次の3つの式だ。任意の自然数 $k$, $l$ について

言ってることは単純だ。違う種類・違う周波数のサイン波同士を掛けて1周期積分すると必ず 0 になる。生き残るのは、全く同じもの同士を掛けたときだけ。この性質を三角関数の直交性と呼ぶ。

違うもの同士の積は、プラスになる区間とマイナスになる区間がちょうど同じ面積だけ現れて、1周期で帳尻が合って 0 になる。疑うなら $\cos \omega_0 t \times \cos 2\omega_0 t$ あたりを手でグラフに描いてみるといい。

で、この直交性を使う。例えば $a_2$ が欲しければ、式 (1.1) の両辺に $\cos 2\omega_0 t$ を掛けて1周期積分する。右辺では「$\cos 2\omega_0 t$ と同じもの同士」の項、つまり $a_2$ の項だけが $T_0/2$ を伴って生き残り、他は直交性で全滅する。

一般化すると、フーリエ係数は次で求められる。

それだ。その感覚は今後ずっと使うから覚えておけ。「$f(t)$ の中に $\cos k\omega_0 t$ がどれだけ含まれているかを、$\cos k\omega_0 t$ を掛けて積分することで取り出す」。フーリエ変換も離散フーリエ変換も、結局ぜんぶこの形をしている。

仕上げに、その矩形波で「部分和」を見よう。無限級数を $k = N$ で打ち切ったものを部分和という。$N$ を増やしていったときの様子がこれだ。

よく気づいた。それはギブス現象という有名な現象だ。不連続点（値がジャンプする点）のそばでは、項数をいくら増やしても約 9% のオーバーシュートが残り続ける。ツノは細くはなるが、低くはならない。

そういう感覚でいい。一方、三角波に切り替えてみろ。あっちは不連続点がない（折れ点だけ）ので、小さい N でもほぼ重なる。滑らかな信号ほど高調波の係数が速く減衰する、これも大事な感覚だ。

鋭いな。無限級数の総和と積分の交換は、数学的には常に許されるわけじゃない。交換できるための条件（一様収束など）がちゃんとあって、それを確かめるのが本来の作法だ。

確かめない。実用上扱う信号ではまず問題にならないし、ここで数学に深入りすると本題に一生たどり着かないからだ。ただし「本当は確認が要る操作を、断りを入れて省略している」という自覚だけは持っておけ。今後も同じ省略を何度かやる。