伝達関数の部分分数展開

いい心がけだ。付録としてまとめておく。まず対象は、分子の次数が分母の次数より真に小さい有理関数だ。これを厳密にプロパー（strictly proper）という。たとえば

分母が単根（重複なし）に因数分解できているとき、こう分解できる。

それでもいいが、もっと速い手がある。ヘビサイドの被覆法だ。$A$ を求めたければ、$F(s)$ に $(s+1)$ を掛けて、$s = -1$ を代入する。「$\frac{A}{s+1}$ の分母を手で隠して、その根を全体に代入する」イメージだ。

同様に $B$ は $(s+2)$ を掛けて $s=-2$ を代入する。

そのとおり。この $A, B$ を留数（residue）と呼ぶ。各極に紐づく重み、と思っておけ。被覆法は「その極の分母因子を覆い隠して、残りに極の値を代入する」という機械的操作で留数が出る、便利な定理だ。

重解（多重極）の場合は、その因子について次数ぶんの項を全部立てる。たとえば

なら、$(s+1)^1$ と $(s+1)^2$ の両方を用意する。

そう。$A_2 = \left.(s+1)^2 F(s)\right|_{s=-1} = (s+2)|_{s=-1} = 1$。問題は $A_1$ だ。同じことをやると $0$ で割る形になって失敗する。$A_1$ は微分してから代入する。

一般に $(s-a)^k$ の重解なら、$j$ 番目の留数（下から数えて）は $(s-a)^k F(s)$ を $(k-j)$ 回微分して $\frac{1}{(k-j)!}$ を掛け、$s=a$ を代入する。結果はこうだ。

その場合は先に多項式の割り算をして、厳密にプロパーな部分を取り出す。たとえば

分子の次数（2）が分母（1）以上だ。$s^2 + 3s + 3$ を $s+1$ で割ると、商が $s+2$、余りが $1$ になる。

そうだ。商の多項式部分（ここでは $s+2$）は、逆ラプラス変換するとデルタ関数とその微分になる。残りの $\frac{1}{s+1}$ が普通の指数関数を生む。まず割って厳密プロパーにする、これが鉄則だ。

なぜ部分分数展開をするのか。それは、基本形なら逆変換の答えを暗記しているからだ。連続時間の最重要パターンはこれ。

$u(t)$ は単位ステップ（$t\ge0$ で1）だ。さっきの式 (A.2) の例 $F(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}$ なら、$a=-1$ と $a=-2$ を当てはめて

と一発で逆変換できる。

重解 $\frac{1}{(s-a)^2}$ なら逆変換は $t\,e^{at}u(t)$ だ。極が複素共役なら $e^{at}$ の中身が振動して、減衰正弦波になる。基本形の辞書さえ持っていれば、あとは部分分数展開で持ち込むだけだ。

考え方は同じだが、基本形が変わる。離散の最重要パターンはこれだ。

連続の $e^{at}$ に対応するのが、離散では $a^n$（等比数列）だ。極 $a$ が単位円の内側（$|a|<1$）なら $a^n$ は減衰し、外側なら発散する。第15章の安定性の話と直結している。

そこが離散の流儀だ。z 変換は $z^{-1}$（遅延演算子）の多項式で扱うのが自然なので、部分分数展開も $z^{-1}$ の式として $\frac{1}{1-az^{-1}}$ の形を基本形にする。たとえば

を

と分解する。被覆法も使えるが、$z^{-1}$ を一つの変数とみなして扱うか、あるいは一度 $\frac{H(z)}{z}$ にしてから $z$ の多項式として展開し、最後に $z$ を掛け戻す、という流儀もよく使われる。連続のクセで $\frac{1}{z-a}$ の形に分解してしまうと、逆変換の基本形と噛み合わずに混乱するので注意しろ。

その整理でいい。部分分数展開は、伝達関数を「答えを知っている部品」に分けるための共通の道具だ。連続でも離散でも、まずプロパーにして、被覆法で留数を出し、重解は微分で補う。この手順は変わらない。