離散時間信号

いいタイミングだ。この章からがその本番だ。で、いきなりだが困った事実から始める。コンピュータは連続信号をそのまま持てない。

あれは連続信号「そのもの」じゃない。考えてみろ。連続信号 $x(t)$ は、どんなに短い時間にも無限個の時刻があって、そのすべてに値を持っている。0秒と0.001秒の間だけでも無限個だ。メモリが有限のコンピュータに無限個の数は入らないだろ、常識的に考えて。

それが答えだ。一定の時間間隔 $T$ ごとに信号の値を拾って、数の列として記録する。この操作をサンプリング（標本化）と呼び、$T$ をサンプリング周期と呼ぶ。拾った数の列はこう書く。

時刻 $0, T, 2T, 3T, \dots$ における値を順番に並べただけだ。この $x[n]$ を離散時間信号と呼ぶ。

わざとだ。むしろこの教材で一番守る記法かもしれない。丸括弧 $x(t)$ は連続時間、$t$ は実数で単位は秒。角括弧 $x[n]$ は離散時間、$n$ はただの整数で、単位を持たない通し番号だ。「何秒の値か」ではなく「何番目の値か」。プログラムの配列 x[n] と同じ気持ちで読んでいい。

実際、コンピュータの中の信号は本当にただの配列だ。あと、1秒あたりに何個サンプルを取るかをサンプリング周波数と呼ぶ。

例えば音楽CDは $f_s = 44100$ Hz。$T \approx 22.7$ マイクロ秒ごとに1個、1秒あたり44100個の数で音楽を表している。

良すぎる質問だ。結論だけ先に言うと、条件さえ満たせば、捨てたように見えた間の情報は完全に復元できる。その驚くべき定理（サンプリング定理）は第10章でやる。そこに至る伏線が、実はこの章の後半にもう現れる。

さて、信号処理の主役は今までずっとサイン波だった。なら次にやることは決まってる。サイン波をサンプリングしたら何になるかだ。その前に記号の約束をひとつ。ここからは連続時間の角周波数を大文字の $\Omega$、離散時間用の角周波数を小文字の $\omega$ と書き分ける。

すぐ慣れる。書き分ける理由はこの直後にわかる。連続時間のサイン波 $x(t) = \cos \Omega t$ を周期 $T$ でサンプリングすると

$\Omega$ と $T$ が必ず $\Omega T$ という積の形でセットになる。そこでこの積に名前を付ける。

これが正規化角周波数だ。離散時間のサイン波は $x[n] = \cos \omega n$ と書ける。

そこが急所だ。$\Omega$ は「1秒あたりに進む位相」だった。$T$ は「1サンプルにかかる秒数」。掛け算すると秒が消えて、$\omega$ は「1サンプルあたりに進む位相」になる。離散時間の世界には「秒」が無い。あるのは $n$ という通し番号だけだから、周波数も「1個進むごとに位相がどれだけ回るか」で測るしかないわけだ。

1 kHz のサイン波を $f_s = 8$ kHz でサンプリングしてみろ。$\omega = \Omega T = 2\pi \cdot 1000 / 8000 = \pi/4$。1サンプルごとに位相が $\pi/4$、つまり45度ずつ進む。8サンプルでちょうど1周だな。下のデモで $f$ と $f_s$ を別々に動かして、$\omega$ がどう変わるか見てみろ。

そこで気づいてほしいことがある。同じ 1 kHz の波でも、$f_s$ が変われば $\omega$ は変わる。$\omega$ は信号そのものの性質ではなく、「信号とサンプリングの組み合わせ」で決まる量だ。だから「正規化」角周波数という。サンプリング周期を基準（=1）に取り直した周波数、ということだな。

いい要約だ。コンピュータの中の信号処理は、すべてこの $\omega$ の世界で行われる。Hz に戻したくなったら $f = \omega f_s / 2\pi$ で換算すればいい。

ここからが離散時間の本当に面白いところだ。$\cos \omega n$ の $\omega$ をどんどん大きくしていったら、何が起きると思う?

ではこれを見てもらおう。$\omega$ に $2\pi$ を足してみる。

消える理由を言ってみろ。

完璧だ。つまり離散時間の世界では、周波数 $\omega$ のサイン波と周波数 $\omega + 2\pi$ のサイン波は、完全に同一の信号になる。$\omega + 4\pi$ でも $\omega - 2\pi$ でも同じだ。区別がつかないんじゃなくて、サンプル列として本当に同じものだ。デモで確かめてみろ。

それが2つ目の驚きだ。$\omega$ が $\pi$ を超えると、サンプル列は $2\pi - \omega$ というより低い周波数の波と同じに見え始める。cos は偶関数で $\cos(-\omega n) = \cos \omega n$ でもあるから、結局、離散時間の周波数として意味のある範囲は

しかない。この範囲の外の $\omega$ は、$2\pi$ の整数倍を足し引きして必ずこの中のどれかに折り返される。

そうだ。$\omega = \pi$ のとき $x[n] = \cos \pi n = (-1)^n$、つまり $+1, -1, +1, -1, \dots$ の交互パターン。サンプル列としてこれより速く暴れる方法は存在しない。1点ごとに符号を反転する以上の変化は表しようがないからな。

式 (4.5) の通りのことが起きる。$\pi$ を超えた周波数は折り返されて、まったく別の低い周波数の信号に化けて記録される。これをエイリアシング（折り返しひずみ）と呼ぶ。車のタイヤが映像で逆回転して見えるアレが実例だ。

だから「サンプリングする前に $f_s/2$ 以上の成分を取り除いておく」という掟がある。この話を厳密にやるのが第10章のサンプリング定理だ。今日のところは、離散時間の周波数の地図は $-\pi$ から $\pi$ までしかない、ここまで持ち帰れば十分だ。