ディジタルフィルタの基礎

ちょうどいい題材だ。その「サーッ」は高い周波数に散らばる成分で、声の主成分はもっと低い周波数にいる。つまりお前の要求はこう言い換えられる。

これをやる装置がフィルタだ。コーヒーのフィルタが粉を止めて液だけ通すように、特定の周波数を止めて残りを通す。

そこで第8章の主役を呼び戻す。線形時不変（LTI）システムに信号を通すと、周波数領域では

という掛け算になるんだった。$H(\omega)$ は周波数応答。つまり LTI システムは、もともと「周波数成分ごとに別々の倍率を掛ける装置」なんだ。

それがフィルタ設計の発想のすべてだ。あとは $H$ の形で名前が付いている。

• 低域通過フィルタ（LPF）: 低い周波数を通し、高い周波数を止める
• 高域通過フィルタ（HPF）: 高い周波数を通し、低い周波数を止める
• 帯域通過フィルタ（BPF）: ある帯域だけを通す
• 帯域阻止フィルタ（BEF）: ある帯域だけを止める

お前のノイズ退治なら LPF だな。理想を言えば、遮断周波数 $\omega_c$ までは利得1、そこから先は利得0、つまり

という矩形の周波数応答が欲しい。これを理想低域通過フィルタと呼ぶ。

鋭くなってきたな。その予感は当たっていて、理想LPFのインパルス応答は sinc 関数になり、時間方向に無限に伸びる。しかも入力が来る前から応答が始まる非因果的な代物だから、そのままでは実現できない。「理想にどう近づけるか」がフィルタ設計の本題で、それは後の章でやる。この章では、そもそもディジタルフィルタという機械がどう動くのか、その骨組みを押さえる。

ディジタルの世界での LTI システムを思い出そう。離散時間の LTI システムの出力は、入力 $x[n]$ とインパルス応答 $h[n]$ のたたみこみだった。$h[n]$ が有限の長さ $M$ で終わるなら、こう書ける。

この形のフィルタを FIR フィルタ（Finite Impulse Response、有限インパルス応答）と呼ぶ。

そのとおり。重み係数の列 $h[0], h[1], \dots, h[M-1]$ をタップ係数と呼ぶ。そしてここが美しいところなんだが、この係数列の正体は何だと思う? 試しに式 (12.3) にインパルス $x[n] = \delta[n]$ を入れてみろ。

そう。タップ係数 = インパルス応答そのものだ。「フィルタを設計する」とは「望みの $H(\omega)$ を持つインパルス応答 $h[k]$ を決める」ことに他ならない。

いちばん身近な例が移動平均だ。直近 $M$ 点をただ平均する。

これは $h[k] = 1/M$（$k = 0, \dots, M-1$）の FIR フィルタだ。

その「滑らかになる」を周波数の言葉で言えば、速い変動=高周波成分が削られている、つまり移動平均は LPF だ。平均を取れば細かい上下動は相殺されるが、ゆっくりした傾向は平均しても残る。直観とも合うだろ。

じゃあ係数を自分の手で動かして、$h[k]$ と $|H(e^{j\omega})|$ の関係を体感してみろ。下のデモは5タップの FIR フィルタだ。初期状態は全タップ 0.2、つまり5点移動平均になっている。

いい発見だ。理屈はこうだ。係数が全部同符号なら、ゆっくり変化する入力（低周波）は同じ符号のまま足し合わされて生き残る。逆に交互符号の係数は「隣との差」を取る動きになるから、1サンプルごとに符号が反転するような最速の振動（$\omega = \pi$ 付近）に強く反応する。係数の並びの「波打ち方」が、そのフィルタの好きな周波数を決めるんだ。

理屈はいいとして、最初の目的を忘れるな。ノイズ混じりの信号に移動平均を実際にかけてみよう。

それが副作用だ。デモ下段の $|H|$ を見ろ。$M$ を増やすと高域はよく削れるが、通過帯域も狭くなって信号本体の成分まで削り始める。さらに「直近 $M$ 点の平均」は時間的に過去寄りの代表値だから、出力はおよそ $(M-1)/2$ サンプル遅れる。フィルタは常に「ノイズの除去量」と「信号の歪み・遅延」の取引なんだ。

いい問題意識だ。そこで第二の方式が出てくる。出力の計算に、過去の出力そのものを再利用するんだ。一般形はこうなる。

これを線形差分方程式と呼ぶ。第1項は FIR と同じ「入力の加重和」。新顔は第2項、過去の出力 $y[n-1], \dots, y[n-N]$ のフィードバックだ。

第2項の頭に付いているマイナスが唐突に見えるかもしれないが、これはわざとだ。本来は「$y[n]$ と過去の出力をまとめた左辺＝入力の加重和」という形 $\sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = \sum_k b_k x[n-k]$（$a_0=1$）で、それを $y[n]$ について解こうと過去の出力項を右辺へ移項したから符号が反転している。この符号で書いておくと、第14章で z変換したときに分母が $1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \cdots$ という綺麗な形で出てくる（係数 $a_k$ がそのまま分母に並ぶ）。いまは「あとで分母が整うための仕込み」とだけ思っておけ。

その「ぐるぐる回る」感覚は正しいし、「雪だるま式」の心配もあとで効いてくる。まず一番簡単な例で挙動を見よう。

インパルス $x[n] = \delta[n]$ を入れる。初期状態は $y[-1] = 0$ だ。順に手で計算してみろ。

そう、インパルス応答は $h[n] = 0.9^n$（$n \ge 0$）で、無限に続く。だからこの方式を IIR フィルタ（Infinite Impulse Response、無限インパルス応答）と呼ぶ。一度入った刺激の「残響」がフィードバックループの中を回り続けるイメージだ。

注目すべきは効率だ。式 (12.6) の計算は1サンプルあたり掛け算1回・足し算1回。それで無限に長いインパルス応答が手に入る。同じ応答を FIR で真似ようとしたら、タップが何十本も必要になる。

そうは行かない。さっきお前が言った「雪だるま」を思い出せ。式 (12.6) の係数 0.9 を 1.1 に変えたらどうなる?

それが不安定という状態だ。フィードバックがあるシステムは、係数の選び方を誤ると有限の入力から無限の出力を生む。FIR にはこの心配が原理的にない。式 (12.3) は有限個の有限な値の和だから、FIR は常に安定だ。両者の利害得失を整理するとこうなる。

FIR フィルタ

• 常に安定（フィードバックがないので爆発しようがない）
• 係数を左右対称にすれば線形位相（全周波数が同じ時間だけ遅れる、波形が歪まない）にできる
• そのかわり急峻な特性には高い次数（多くのタップ）が必要で、計算量とメモリを食う

IIR フィルタ

• 低い次数で急峻な特性が作れて計算が軽い
• そのかわり安定性の確認が必須。係数誤差にも敏感
• 位相特性は一般に歪む（線形位相にはできない）

それが次の2つの章のテーマそのものだ。安定か不安定かは、システムを複素平面の上で眺めると一目でわかるようになる。連続時間システム用の地図がラプラス変換（第13章）、ディジタルフィルタ用の地図が z変換（第14章）だ。0.9 と 1.1 の運命を分けた境界線は、z平面では半径1の円として目に見える形で現れる。