第14章

z変換

この章のねらい

z変換の定義と、ラプラス変換・DTFT との関係を説明できるようになる
差分方程式を z変換して伝達関数 H(z) を求められるようになる
部分分数展開による逆 z変換を1問通しで実行できるようになる

14.1 z変換の導入

やる夫

前章のラプラス変換、たしかに強かったお。でもやる夫が安定かどうか知りたかったのは、第12章のディジタルフィルタだお。あっちは微分方程式じゃなくて差分方程式だから、 $\int$ も $d/dt$ も出てこないお。

やらない夫

だから今度はラプラス変換の離散時間版を作る。それが z変換だ。数列 $x[n]$ （ $n \ge 0$ ）に対して

X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]\, z^{-n} \tag{14.1}

と定義する。 $z$ は複素変数。積分が総和に、 $e^{-st}$ が $z^{-n}$ に置き換わっただけで、骨格はラプラス変換 (13.2) と同じだ。

やる夫

骨格が同じって言うけど、 $e^{-st}$ と $z^{-n}$ じゃ見た目がだいぶ違うお。どこが対応してるんだお。

やらない夫

いいところを突く。 $x[n]$ が連続信号 $f(t)$ をサンプリング周期 $T$ で標本化したもの、つまり $x[n] = f(nT)$ だとしよう。ラプラス変換の核 $e^{-st}$ を標本点 $t = nT$ で評価すると $e^{-snT} = (e^{sT})^{-n}$ だ。ここで

z = e^{sT} \tag{14.2}

と名前を付ければ、 $(e^{sT})^{-n} = z^{-n}$ 。つまり z変換とは、ラプラス変換の標本点版で、 $e^{sT}$ をひとまとめに $z$ と呼んだものなんだ。

やる夫

なるほどだお。じゃあ $s$ 平面の話は、式 (14.2) の翻訳表を通せば全部 $z$ 平面に持ってこられるってことかお。

やらない夫

そういうことだ。翻訳の目玉をひとつ先に見せておく。 $s = j\omega$ 、つまり前章で「周波数応答が住んでいる」と言った虚軸は、 $z = e^{j\omega T}$ に移る。これは複素平面の半径1の円周だ。実際、式 (14.1) で $z = e^{j\omega}$ と置くと

X(e^{j\omega}) = \sum_n x[n]\, e^{-j\omega n} \tag{14.3}

これは離散時間フーリエ変換（DTFT）そのものだ。DTFT は z変換を単位円の上で眺めた特殊ケース。「ラプラス変換の虚軸=フーリエ変換」の関係と同じ構図が、円になって現れている。

s平面とz平面の対応

$z = e^{sT}$ （ $s = \sigma + j\omega$ なら $|z| = e^{\sigma T}$ ）による引っ越し先はこう対応する。

虚軸（ $\sigma = 0$ ）⇔ 単位円周（ $|z| = 1$ ）— 周波数応答の住所
左半平面（ $\sigma < 0$ ）⇔ 単位円の内側（ $|z| < 1$ ）— 減衰=安定の領域
右半平面（ $\sigma > 0$ ）⇔ 単位円の外側（ $|z| > 1$ ）— 発散の領域

縦に走る直線の地図が、円を中心に巻き付いた地図に変わったわけだ。なお $\omega$ 方向は $2\pi/T$ ごとに同じ $z$ に巻き付いて重なる。第9章でやったエイリアシング（標本化で周波数が折り返す話）が、地図の側にも現れていると思えばいい。

z変換は標本化が必須ではない

いま $z = e^{sT}$ を導くのに「連続信号を標本化した $x[n]=f(nT)$ 」という設定を使ったが、これはラプラス変換との血縁を見せるための足場にすぎない。定義 (14.1) をもう一度見ると、 $X(z) = \sum_n x[n] z^{-n}$ は数列 $x[n]$ さえあれば計算でき、その数列がどこから来たか（標本化されたものか、最初から離散で生まれたものか）は一切問わない。z変換は任意の数列に定義できる道具だ。「標本化由来のz変換」と「一般の数列のz変換」を別物だと思って混乱しないように。 $z = e^{sT}$ はあくまで s平面とz平面を対応づけるときの翻訳表であって、z変換そのものの前提ではない。

14.2 逆z変換

やる夫

ラプラス変換のときは「変換 → 代数 → 逆変換」の3ステップだったお。z変換の逆変換はどうやるんだお。

やらない夫

公式としては複素平面上の周回積分

x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint X(z)\, z^{n-1}\, dz \tag{14.4}

が定義だ。が、安心しろ、この積分を実際に計算することはこの教材では一度もない。

やる夫

その宣言、嫌いじゃないお。じゃあ実際はどうするんだお。

やらない夫

実務は2つの読み方で済む。

べき級数として読む: 定義 (14.1) は $X(z) = x[0] + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \cdots$ だ。つまり $X(z)$ を $z^{-1}$ のべき級数に展開できれば、係数を順に読むだけで $x[n]$ が出る
部分分数に割って対応表を読む: $X(z)$ が有理関数なら、簡単な分数の和に割って、各項を既知のペアで逆変換する。ラプラスのときの式 (13.7) と同じ作戦だ

ほとんどの場合は 2 で片付く。その「既知のペア」の代表が、これから作る $1/(1 - az^{-1})$ だ。

14.3 線形差分方程式とz変換

やらない夫

ラプラス変換の必殺技は「微分が $s$ 倍」だった。z変換の必殺技はこれだ。

\mathcal{Z}\big[ x[n-1] \big] = z^{-1} X(z) \tag{14.5}

1サンプルの遅延が、 $z^{-1}$ を掛けるだけの操作に化ける。導出は 14.5 節に回して、まず使う。第12章の IIR フィルタを覚えているか。

y[n] = x[n] + 0.9\, y[n-1] \tag{14.6}

両辺を z変換しろ。遅延は $z^{-1}$ 倍、それ以外は線形だからそのまま和になる。

やる夫

えーと、 $Y(z) = X(z) + 0.9 z^{-1} Y(z)$ …。 $Y(z)$ を左に集めると $(1 - 0.9z^{-1}) Y(z) = X(z)$ だから…

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - 0.9 z^{-1}} \tag{14.7}

お、ラプラスのときの伝達関数と同じ顔のやつが出てきたお。

やらない夫

それがディジタルフィルタの伝達関数 $H(z)$ だ。一般の差分方程式でも同じことが起きる。

y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k y[n-k] \;\xrightarrow{\;\mathcal{Z}\;}\; H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}} = \frac{B(z)}{A(z)} \tag{14.8}

差分方程式が、 $z^{-1}$ の多項式の比=有理関数にきれいに化ける。分子 $B(z)$ には入力側の係数（FIR 部分）、分母 $A(z)$ にはフィードバック側の係数が並ぶ。FIR フィルタなら分母が 1 で、 $H(z)$ はただの多項式だ。

やる夫

で、式 (14.7) からインパルス応答は読めるのかお? 第12章で手計算したときは $h[n] = 0.9^n$ だったお。

やらない夫

読める。等比級数の公式 $\frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + \cdots$ に $r = 0.9z^{-1}$ を入れてみろ。

\frac{1}{1 - 0.9z^{-1}} = 1 + 0.9 z^{-1} + 0.81 z^{-2} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 0.9^n z^{-n} \tag{14.9}

さっき言った「べき級数として読む」だ。係数列はまさに $0.9^n$ 。一般化すれば、逆変換ペアの主役が手に入る。

\frac{1}{1 - a z^{-1}} \quad\Longleftrightarrow\quad h[n] = a^n \quad (n \ge 0) \tag{14.10}

そして $H(z) = \frac{1}{1-az^{-1}}$ の分母が 0 になる点、つまり極は $z = a$ だ。 $|a| < 1$ なら $a^n$ は減衰し、 $|a| > 1$ なら発散する。第12章の「0.9 はセーフ、1.1 はアウト」の境界線が、 $z$ 平面の単位円として目に見える形になった。

14.4 逆z変換の実際

やる夫

極が1個ならわかったお。でも本物のフィルタは式 (14.8) みたいに分母がもっと長いお。そういうときはどうするんだお。

やらない夫

部分分数展開で式 (14.10) の形の和にバラす。これを1問、最後まで通しでやろう。お題はこれだ。

H(z) = \frac{1}{(1 - 0.5z^{-1})(1 - 0.8z^{-1})} \tag{14.11}

極は $z = 0.5$ と $z = 0.8$ の2つ。これを

H(z) = \frac{A}{1 - 0.5z^{-1}} + \frac{B}{1 - 0.8z^{-1}} \tag{14.12}

と置く。 $A, B$ を決めるには、両辺に元の分母を掛けて

1 = A(1 - 0.8z^{-1}) + B(1 - 0.5z^{-1}) \tag{14.13}

これがどんな $z$ でも成り立つように選ぶ。ここでひとつ約束をしておく。 $z^{-1}$ を「ひとつの変数」とみなして部分分数するんだ。 $w = z^{-1}$ と置き換えて $\frac{1}{(1-0.5w)(1-0.8w)}$ を $w$ の有理関数として分解している、と思えばいい。だから次に出てくる「 $z^{-1}=2$ を代入」も、 $w=2$ という $w$ への代入であって、 $z$ そのものに妙な値を入れているわけではない（離散版の部分分数展開のコツは付録A.5にまとめた）。楽をするコツは、片方の項が消える点を代入することだ。やってみろ。

やる夫

ええと、 $B$ の項を消したいなら $1 - 0.5z^{-1} = 0$ 、つまり $z^{-1} = 2$ を入れるお。すると $1 = A(1 - 0.8 \times 2) = -0.6A$ だから $A = -\frac{5}{3}$ だお。

今度は $z^{-1} = 1/0.8 = 1.25$ を入れると $1 = B(1 - 0.5 \times 1.25) = 0.375B$ だから $B = \frac{8}{3}$ だお。

やらない夫

正解だ。あとは各項に式 (14.10) を当てるだけ。

h[n] = -\frac{5}{3}\,(0.5)^n + \frac{8}{3}\,(0.8)^n \quad (n \ge 0) \tag{14.14}

無限に続くインパルス応答の全貌が、閉じた式で手に入った。

やる夫

…本当に合ってるのかお? 検算したいお。

やらない夫

いい習慣だ。式 (14.11) の分母を展開すると $1 - 1.3z^{-1} + 0.4z^{-2}$ 、つまり元の差分方程式は $y[n] = x[n] + 1.3y[n-1] - 0.4y[n-2]$ だ。インパルスを入れて直接回すと $h[0] = 1$ 、 $h[1] = 1.3$ 。一方、式 (14.14) は

h[0] = -\tfrac{5}{3} + \tfrac{8}{3} = 1, \qquad h[1] = -\tfrac{5}{3}(0.5) + \tfrac{8}{3}(0.8) = -\tfrac{5}{6} + \tfrac{32}{15} = \tfrac{39}{30} = 1.3

一致だ。さらに式 (14.14) からは数値以上のことが読める。応答は $(0.5)^n$ と $(0.8)^n$ の2成分の混合で、すぐ消えるのは前者、しぶとく残って応答の「しっぽ」を支配するのはいちばん単位円に近い極 $z = 0.8$ の方だ。

やる夫

極の位置を見れば、計算しなくても応答の性格が読めるってことかお。ラプラスのときの「左半平面なら安定」と同じノリだお。

やらない夫

そのノリの離散版を、目で確かめよう。下のデモは共役な極ペア $z = re^{\pm j\theta}$ を持つシステムだ。インパルス応答は $h[n] = r^n \cos\theta n$ になる。 $r$ と $\theta$ を動かしてみろ。

Z-PLANE → IMPULSE RESPONSE INTERACTIVE

再生すると極ペア（×印）の半径 r が内から外へ自動で動く。応答の減衰がだんだん鈍り、極が単位円（r = 1）を越えた瞬間に発散へ転じる＝13章の「虚軸越え＝発散」が、離散では「単位円越え＝発散」になると見える。停止すれば r・θ を自分で置け、θ は振動の細かさだけを変える（σ→r、ω→θ の役割対応）。

やる夫

おお、前章のデモとそっくりの動きだお! あっちは「縦の虚軸を越えたら発散」だったけど、今度は単位円を越えたら発散だお。 $r$ が前章の $\sigma$ の役で、 $\theta$ が $\omega$ の役だお。

やらない夫

そのとおり。 $z = e^{sT}$ の翻訳で $|z| = e^{\sigma T}$ だから、 $\sigma < 0 \Leftrightarrow |z| < 1$ 。「極が左半平面なら安定」は、離散時間では「極が単位円の内側なら安定」になる。これが第12章から引っ張ってきた問いへの最終回答だ。フィルタの分母 $A(z)$ の根を求めて、全部単位円の内側にあれば安定。手計算で何十項も回す必要はない。

14.5 なぜ遅延が z^-1 になるのか

やる夫

最後に宿題を回収してほしいお。式 (14.5)、遅延が $z^{-1}$ 倍になるってやつだお。

やらない夫

定義に放り込むだけだ。1サンプル遅らせた信号 $x[n-1]$ を式 (14.1) に入れて、 $m = n - 1$ と置き換える。

\sum_{n=0}^{\infty} x[n-1]\, z^{-n} = \sum_{m=-1}^{\infty} x[m]\, z^{-(m+1)} = z^{-1} \sum_{m=0}^{\infty} x[m]\, z^{-m} = z^{-1} X(z) \tag{14.15}

途中で $m = -1$ の項を捨てたのは、 $n < 0$ で $x[n] = 0$ （因果的な信号）としているからだ。 $k$ サンプルの遅延なら同じ計算で $z^{-k}$ 倍になる。

やる夫

ほんとに総和の番号を付け替えただけだお。 $z^{-n}$ が $z^{-(m+1)}$ になって、はみ出した $z^{-1}$ が外にこぼれ出てきた、って感じだお。

やらない夫

その「こぼれ出る」感覚で十分だ。仕上げに、2つの章を1枚の対応表にしておこう。

連続時間: システムの基本操作は微分。 $e^{st}$ が微分の固有関数だから、ラプラス変換で「微分 $\to s$ 倍」になり、微分方程式が代数方程式 $H(s)$ に化けた
離散時間: システムの基本操作は遅延。 $z^n$ は遅延の固有関数（ $z^{n-1} = z^{-1} \cdot z^n$ で形が変わらない）だから、z変換で「遅延 $\to z^{-1}$ 倍」になり、差分方程式が有理関数 $H(z)$ に化けた

道具の見た目は違っても、**「システムの基本操作を、ただの掛け算に変える座標系を選ぶ」**という一つの思想で貫かれている。

この章のまとめ

z変換 $X(z) = \sum_{n} x[n] z^{-n}$ はラプラス変換の離散時間版。 $z = e^{sT}$ の関係で結ばれ、DTFT は単位円上（ $z = e^{j\omega}$ ）の特殊ケース
逆z変換は周回積分が定義だが、実際はべき級数の係数読みか部分分数展開で済ませる
遅延の性質 $\mathcal{Z}[x[n-k]] = z^{-k}X(z)$ により、差分方程式は有理関数 $H(z) = B(z)/A(z)$ に化ける。ラプラスの「微分 $\to s$ 」と対になる「遅延 $\to z^{-1}$ 」
基本ペアは $1/(1 - az^{-1}) \Leftrightarrow a^n$ 。複数極は部分分数展開でこの形の和に割る
応答のしっぽは単位円にいちばん近い極が支配する
安定条件: 極がすべて単位円の内側。 $s$ 平面の左半平面⇔ $z$ 平面の単位円内、虚軸⇔単位円周