フーリエ変換の性質(1): 時間シフトと変調

ありがたみは絶大だ。変換の式を毎回まじめに積分しなくても、「波形をこういじったらスペクトルはこう変わる」という対応表があれば、計算を一段すっ飛ばせる。今日はその対応表の最初の2行、時間シフトと変調を作る。

それが起きるんだ。信号 $x(t)$ を時間的に $t_0$ だけ遅らせた信号は $x(t - t_0)$ と書ける。これのフーリエ変換を計算してみよう。定義どおりに書くぞ。

こういうときは置換積分だ。$\tau = t - t_0$ と置く。すると $t = \tau + t_0$、$dt = d\tau$。積分範囲は $\tau$ も $-\infty$ から $\infty$ のままだ。代入する。

$e^{-j\omega t_0}$ は $\tau$ に関係ない定数だから、積分の外に出せる。そして残った積分は、$X(\omega)$ そのものだ。

結論はこうなる。

**波形を時間で $t_0$ ずらすと、スペクトルには $e^{-j\omega t_0}$ という因子が掛かる。**これが時間シフトの性質だ。

そこに気づけるなら大したものだ。そのとおり。$|e^{-j\omega t_0}| = 1$ だから、

振幅スペクトルは時間シフトでまったく変わらない。変わるのは位相だけだ。元の位相を $\angle X(\omega)$ とすると、シフト後の位相は

つまり位相が $-\omega t_0$ だけ足される。これは $\omega$ に比例した傾きだ。だから「線形位相」と呼ぶ。

いい疑問だ。1個の正弦波で考えろ。$\cos\omega t$ を時間で $t_0$ 遅らせると $\cos\omega(t - t_0) = \cos(\omega t - \omega t_0)$ になるだろ。位相が $\omega t_0$ ぶん遅れた。ここで大事なのは、同じ時間 $t_0$ の遅れでも、周波数 $\omega$ が高い波ほど位相のずれ $\omega t_0$ が大きいってことだ。

その理解で完璧だ。「波形を遅らせる」を周波数の言葉に翻訳すると、「各周波数成分の位相を、周波数に比例して遅らせる」になる。下のデモで確かめろ。長さ5の矩形パルスを $n_0$ だけ遅らせる装置だ。スライダーを動かすと、上のパルスは右に動くが、真ん中の振幅スペクトルはぴくりとも動かない。下の位相だけが傾きを変える。

そういうことだ。ついでに離散信号版も書いておく。連続の積分が和になるだけで、導出も結論も同じ形だ。

デモはこの離散版を描いている。パルス中心が $n_0 + 2$ にいるから、位相の傾きは $-(n_0 + 2)$ だ。

対応表の2行目、変調に行く。今度は波形を時間でずらすのではなく、波形に回転する複素指数を掛ける。$x(t) e^{j\omega_0 t}$ のフーリエ変換を計算しよう。

その匂いは正しい。定義に放り込むぞ。

掛けた $e^{j\omega_0 t}$ と変換核の $e^{-j\omega t}$ が指数の肩で合体して、$e^{-j(\omega - \omega_0)t}$ になった。これは $X$ の定義式で $\omega$ のところを $\omega - \omega_0$ に置き換えたものだ。だから

波形に $e^{j\omega_0 t}$ を掛けると、スペクトルが $\omega_0$ だけ右に平行移動する。

その対称性は 7.3 で整理する。先に実用上の問題を片付けよう。$e^{j\omega_0 t}$ は複素数だから、現実の信号（実数値）に掛けると複素信号になってしまう。実際の電波や音でやりたいのは、実数の信号 $x(t)$ に実数の $\cos\omega_0 t$ を掛けることだ。これを計算するとどうなるか。

自分で道筋が見えてるじゃないか。やってみろ。

完璧だ。まとめるとこうだ。

実信号に $\cos\omega_0 t$ を掛けると、元のスペクトルが $+\omega_0$ と $-\omega_0$ の2か所に、半分ずつコピーされる。

ダメというか、できないんだ。1か所だけにずらすには複素指数1本が要るが、実数の信号を作るには第2章でやったとおり正負の回転をペアで使うしかない。$\cos$ は正負の回転がペアになったものだから、スペクトルも正負の2か所に割れる。実数であることの代償だ。

そこは安心しろ。減ったんじゃなくて、1か所だったものが2か所に分かれただけだ。第9章で「総量（パワー）」をきちんと測る道具を出すが、片方の山の高さが半分でも、それが正負の2つあるから足し合わせれば帳尻が合う。エネルギーで言えば、各山が $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ になっても2つあるから、合計は元の半分——というのは「掛けた $\cos$ の振幅が1で、その実効パワーが $\frac{1}{2}$」というだけの当たり前の話で、$x$ の中身（情報）は両方の山にちゃんと丸ごとコピーされている。だから受信側で片方を拾えば元に戻せる。分散しただけで消えてはいない。

そう、これがAMラジオの入り口だ。マイクで拾った音声 $x(t)$ は数 kHz までの低い周波数しか持たない。そのままアンテナに流しても効率よく飛ばない。そこで搬送波 $\cos\omega_0 t$（例えば 1000 kHz）を掛けてやると、音声のスペクトルが搬送波の周波数 $\omega_0$ のまわりに引っ越す。電波として飛ばしやすい高い周波数帯に音声を乗せ替える――それが変調という言葉の由来だ。

そういうことだ。受信側でもう一度 $\cos\omega_0 t$ を掛ければ、スペクトルの一部が原点に戻ってくる（復調）。詳細は省くが、変調が「スペクトルを動かす道具」だと掴めれば今は十分だ。

今日の2つを並べて眺めよう。

それを双対性という。時間領域と周波数領域は鏡のような関係にあって、片方で「平行移動」にあたる操作は、もう片方では「位相の回転（複素指数の掛け算）」にあたる。この鏡の構図は、次の第8章の「たたみこみと積」でも、もっと劇的な形でまた出てくる。