ディジタルフィルタの設計

まず仕様を決めるところから始まる。ローパスフィルタを例にすると、決めるべきは主に4つだ。

• 通過域端 $\omega_p$: ここまでの低い周波数は通したい
• 阻止域端 $\omega_s$: ここから上の高い周波数は止めたい
• 通過域リップル: 通過域で許せる利得のばらつき
• 阻止域減衰量: 阻止域でどれだけ小さく抑えたいか（dB）

この4つを図にしたものをトレランスマスク（許容域の型）という。「特性曲線がこのマスクの白い部分を通れば合格」という枠だ。

そこは遷移帯だ。利得が「通す」から「止める」へ移り変わる坂道で、ここは特性を問わない自由地帯にしておく。なぜか分かるか?

正解に近い。理想は「$\omega_p$ で利得1のままストンと落ちて、すぐ次の点で0」という壁みたいな特性だ。でも、その理想LPFは実現できない。理由は2つある。

ひとつ、理想LPFのインパルス応答は無限に長く続く（後で見るが sinc 関数だ）。有限の計算で打ち切るしかない。ふたつ、その sinc は時刻0より前にも値を持つ、つまり非因果的だ。未来の入力を使わないと作れない。だから現実のフィルタは、必ずどこかで妥協して遷移帯を持つ。設計とは「仕様を満たす範囲で、できるだけ理想に近づける妥協の技術」なんだ。

まず FIR の設計から。発想はシンプルで、「理想LPFのインパルス応答を求めて、それを有限長で切り出す」だ。

理想LPF（カットオフ $\omega_c$）の周波数特性は、$|\omega|<\omega_c$ で1、それ以外で0という箱型だ。これを逆フーリエ変換すると、インパルス応答が出る。

そう、第3章の知識がそのまま効く。周波数領域の箱型 ⇄ 時間領域の sinc という対応の、時間側を見ているわけだ。ところがこの $h_d[n]$ は両側に無限に伸びる。だから有限長で打ち切る。一番素朴なのは、$-M \le n \le M$ の範囲だけ残して両端をバッサリ切る方法だ。これは矩形窓を掛けたことに相当する。

第11章を思い出せ。信号を矩形窓で切ると、スペクトルに sinc 状の裾（サイドローブ）が漏れ出てくる。同じことがここでも起きて、フィルタの周波数特性にリップル（ギザギザ）が乗る。とくに阻止域の減衰が浅くなって、止めたい周波数が漏れる。

そういうことだ。ハミング窓やブラックマン窓のような、両端でなだらかに0へ落ちる窓を掛ければ、サイドローブが抑えられて阻止域が深くなる。代わりに遷移帯が少し広がる、というトレードオフがある。手順をまとめるとこうだ。

1. 仕様からカットオフ $\omega_c$ を決める（通過域端と阻止域端の中間あたり）
2. 式 (16.1) で理想インパルス応答 $h_d[n]$ を計算する
3. 必要なタップ数 $N$ を決める（多いほど遷移帯が急峻になる）
4. 中心 $M=(N-1)/2$ だけずらして因果的にし、窓 $w[n]$ を掛ける: $h[n] = h_d[n-M]\,w[n]$
5. 周波数特性を確認し、仕様（トレランスマスク）を満たすまで $N$ や窓を調整する

よく繋げた。そのずらしぶん $M$ が、そのまま群遅延になる。前章でデモした「21タップで群遅延10」はこれだ。下のデモで、カットオフ・タップ数・窓を動かして、特性がどう変わるか確かめてみろ。

それが窓の効果だ。矩形窓は遷移帯が一番急だが、阻止域が約 -21dB までしか落ちない。ブラックマンは -74dB くらいまで落ちるが遷移帯は広い。仕様に合わせて選ぶ。

IIR は直接 z 平面で極零点を置くのは難しい。そこで定番の作戦がある。「アナログの名設計を借りてくる」だ。

アナログフィルタには、何十年もかけて磨かれた名設計がある。バタワース、チェビシェフ、楕円フィルタ…。これらは「アナログ伝達関数 $H_a(s)$」として完成されている。これをディジタルの $H(z)$ に変換すれば、設計の苦労を丸ごと輸入できる（代表格バタワースの中身=最大限平坦の意味・極配置・次数の決め方は付録Bで扱う）。変換の方法が2つある。

ひとつめはインパルス不変変換。アナログフィルタのインパルス応答 $h_a(t)$ を、サンプリング周期 $T$ で標本化して、それをそのままディジタルのインパルス応答にする。

素直だが、弱点がある。第8章でやった標本化を思い出せ。時間波形をサンプリングすると、周波数領域ではスペクトルが周期的に繰り返される。アナログフィルタの周波数応答も同じく繰り返され、重なって混ざる。つまりエイリアシングが起きる。

そのとおり。だからインパルス不変変換は、阻止域でしっかり減衰しているローパスには使えるが、ハイパスやバンドストップには使えない（高域が折り返してきて潰れる）。用途が限られるんだ。

そこで主役になるのが双線形変換だ。$s$ から $z$ への変換をこう定義する。

この変換のすごいところは、アナログの $j\Omega$ 軸（$\Omega$ は $0$ から $\infty$）を、ディジタルの単位円の上半分（$\omega$ は $0$ から $\pi$）に1対1で押し込むことだ。無限に広いアナログ周波数軸が、有限の単位円1周にきっちり収まる。

起きない。これが双線形変換の最大の長所だ。アナログ周波数が単位円から「はみ出して折り返す」ことがないから、混ざりようがない。

鋭い。裏はある。無限の軸を有限に押し込むということは、高い周波数ほどギューッと圧縮されるということだ。アナログ周波数 $\Omega$ とディジタル周波数 $\omega$ の対応はこうなる。

低い周波数では $\tan$ がほぼ直線だから $\Omega \approx \omega$ でほぼ歪まないが、$\omega$ が $\pi$ に近づくと $\tan$ が発散して $\Omega$ が急に伸びる。つまり周波数軸が非線形に歪む。これをワーピング（warping、ねじれ）という。

そうだ。困るのは、たとえば「ディジタルで $\omega_p$ にカットオフを置きたい」と思ってアナログ側でも素朴に $\Omega = \omega_p$ で設計すると、ワーピングのせいでズレた場所にカットオフが来てしまうことだ。

だからプリワーピングで先回りする。式 (16.4) を逆に使って、「最終的に $\omega_p$ に来てほしいなら、アナログ側ではあらかじめ $\Omega' = \frac{2}{T}\tan(\omega_p T/2)$ で設計しておく」。歪むぶんを見越して、ねじれた先のゴールから逆算するわけだ。デモのチェックボックスをONにすると、補正後にちゃんと狙いの周波数へ命中する様子が見える。

その判断でいい。実務では、エイリアシングの心配がない双線形変換が IIR 設計の標準になっている。アナログの名設計（バタワースの導出は付録B）を双線形でディジタル化する、という流れを押さえておけ。