ラプラス変換

その前に、いったん連続時間の世界に寄り道する。回り道に見えるが、こっちで道具を仕込んでおくと、ディジタル側の話が「同じ仕組みの離散版」として一気に見通せるようになるんだ。

題材はこれだ。抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列につないで、入力電圧 $x(t)$ をかけ、コンデンサの両端電圧 $y(t)$ を出力として取り出す。RC回路だな。回路の法則から、入出力はこういう関係で結ばれる。

そう、それだ。ここで大事なのは、式 (13.1) が嫌がらせではなく物理の必然だという点だ。コンデンサにたまる電荷は電流の積分、コイルの電圧は電流の微分。物理系は微分・積分で記述されるから、連続時間の LTI システムの正体は線形微分方程式なんだ。ディジタルフィルタの正体が差分方程式だったのと、きれいに対応しているだろ。

ある。それがこの章の主役、ラプラス変換だ。微分方程式をただの代数方程式、つまり中学生が解く方程式に変えてしまう。

まず定義から。時刻 $t \ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換は

だ。$s$ は複素数の変数で、$t$ の関数 $f(t)$ を $s$ の関数 $F(s)$ に写す。

いい観察だ。その類似は 13.3 節で本題として扱う。先に、こいつの必殺技を見せる。$f(t)$ の微分をラプラス変換するとどうなるか。

**微分という操作が、$s$ を掛けるだけの操作に化ける。**これが全てだ。導出は 13.5 節でやるから、まず使って威力を見よう。

さっきの RC 回路だ。簡単のため $RC = 1$ とし、入力は時刻 0 でスイッチを入れる単位ステップ $x(t) = u(t)$（$t \ge 0$ で 1）、初期値は $y(0) = 0$ とする。解く前に、部品をひとつ作っておく。指数関数のラプラス変換だ。定義に入れて積分するだけで

が出る。$a = 0$ とすれば $\mathcal{L}[u(t)] = 1/s$ だ。さあ、3ステップで行くぞ。

**ステップ1: 微分方程式の両辺をラプラス変換する。**式 (13.1) は $\frac{dy}{dt} + y = x$ になっている。式 (13.3) を使うと（$y(0)=0$ なので初期値の項は消える）

ステップ2: 代数方程式として解く。$Y(s)$ でくくって割るだけだ。

**ステップ3: 逆変換して時間の世界に戻る。**式 (13.6) を部分分数に割ると

最後の矢印は式 (13.4) の対応表を右から左に読んだだけだ。終わり。なお $\frac{1}{s(s+1)}=\frac1s-\frac1{s+1}$ という分解は部分分数展開で、いまは結果だけ使った。くわしい展開の仕方（被覆法・重解・プロパーでない場合）は付録Aにまとめてある。

そういうことだ。手順を整理すると

1. 微分方程式を変換する（微分が $s$ 倍になり、代数方程式になる）
2. $s$ の世界で方程式を解く（ただの分数の計算）
3. 逆変換で時間の世界に戻る（部分分数に割って対応表を読む。割り方の詳細は付録A）

微分方程式という強敵と正面から戦わず、いったん $s$ の世界に持ち込んで殴る。これがラプラス変換流だ。

空似じゃない、血縁だ。$s$ は複素数だと言ったが、実部と虚部に分けて $s = \sigma + j\omega$ と書いてみろ。定義 (13.2) はこうなる。

そのとおり。ラプラス変換とは、フーリエ変換の $e^{-j\omega t}$ に減衰の重り $e^{-\sigma t}$ を仕込んだものだ。$\sigma$ を1つ固定するごとに「$e^{-\sigma t}$ で押さえつけてからフーリエ変換」をやっている。

なぜそんな重りが要るのか。フーリエ変換の積分 $\int f(t) e^{-j\omega t} dt$ は、$f(t)$ がいつまでも減らない信号だと収束しない。ステップ関数 $u(t)$ がもう駄目だし、$e^{2t}$ みたいに育つ信号は論外だ。だが $e^{-\sigma t}$ を掛ければ、$\sigma$ を十分大きく取る限り大抵の信号はねじ伏せられて、積分が収束する。

そういう位置づけだ。だから変換結果も、1本の軸（$\omega$ 軸）の上の関数ではなく、複素平面（$s$ 平面）全体の上の関数 $F(s)$ になる。横軸 $\sigma$ が減衰・成長の速さ、縦軸 $\omega$ が振動の速さ。この平面が、前章の最後に予告した「システムを眺める地図」になる。

絵で言えばこういう違いだ。**フーリエ変換は $s = j\omega$ という虚軸の1本の上だけを見ている。**だから「いつまでも減らない正弦波」を物差しにしていて、減衰も成長もする信号を映せない。**ラプラス変換は減衰の重り $e^{-\sigma t}$ を仕込んだおかげで、$\sigma$ を左右どちらにも振れる=$s$ 平面の全面を物差しに使える。**フーリエ変換の地図が「虚軸という1本の線路」なら、ラプラス変換の地図は「その線路を含む平面全体」だ。後で出てくる極が虚軸からどれだけ左右にずれているか、という情報は、まさにこの「面」を持っているからこそ書き込める。

偶然じゃない。$e^{st}$ という関数の特技がそのまま出ているんだ。$e^{st}$ を $t$ で微分してみろ。

それだ。**微分しても形が変わらず、$s$ 倍されるだけ。**この性質を持つ関数を、微分という操作の固有関数と呼ぶ。行列の固有ベクトルと同じ言葉遣いだ。固有ベクトルは行列を掛けても向きが変わらず長さが $\lambda$ 倍になるだけだろ。$e^{st}$ は「$d/dt$ を作用させても形が変わらず $s$ 倍になるだけ」の関数なんだ。

で、ラプラス変換（の逆変換）は、信号を $e^{st}$ たちの重ね合わせとして表現し直す操作だと読める。つまり

微分しても形の崩れない部品 $e^{st}$ で信号を展開しておけば、「信号全体を微分する」は「各部品の係数に $s$ を掛ける」に置き換わる。

フーリエ級数のときに「$f(t)$ を $e^{jk\omega_0 t}$ で展開した」のと同じ発想で、部品を $e^{st}$ に広げただけだ。

それがこの章でいちばん持ち帰ってほしい一文だ。ついでに言えば、第8章で「LTI システムに $e^{j\omega t}$ を入れると $H(\omega)$ 倍されて出てくる」とやったのも同じ話だ。$e^{j\omega t}$ は $e^{st}$ の $\sigma = 0$ の特別な場合。固有関数を入れたから、システムは形を変えずに係数を掛けて返してきたわけだ。

道具は部分積分1回だけだ。$\mathcal{L}[f'(t)]$ を定義どおり書いて、$(uv)' = u'v + uv'$ を使う。

第1項の境界値を見る。$t \to \infty$ では、変換が収束するような $s$ を選んでいる限り $f(t) e^{-st} \to 0$ になる。$t = 0$ では $f(0) e^{0} = f(0)$ だ。よって第1項は $0 - f(0)$。第2項は $-s$ が外に出て $+s \int_0^\infty f e^{-st} dt = sF(s)$。合わせて

そういうことだ。2回微分なら式 (13.10) を2回使えばいい。$\mathcal{L}[f''] = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$ となって、微分のたびに $s$ が1つ増え、初期値の置き土産も1つ増える。

ここまでの道具をシステム側の言葉に翻訳しよう。初期値をすべて 0 として、式 (13.1) の RC 回路を変換すると $(RCs + 1)Y(s) = X(s)$。つまり

という比が、入力によらずシステムだけで決まる。これを伝達関数と呼ぶ。出力はいつでも $Y(s) = H(s)X(s)$。時間領域のたたみこみが、$s$ の世界では掛け算になる、あの構図の連続時間・複素 $s$ 版だ。

親戚どころか、$s$ 平面の虚軸の上に周波数応答が住んでいる。$s = j\omega$、つまり $\sigma = 0$ と置けば

これは回路の教科書でおなじみの1次 LPF の周波数応答そのものだ。低い $\omega$ ではほぼ 1 で素通し、高い $\omega$ では分母が育って利得が落ちる。前章で「RC 回路はアナログの LPF」と言える理由がこれだ。

そして $s$ 平面にはもうひとつ、重大な情報が描き込まれている。$H(s)$ の分母が 0 になる点、すなわち極だ。式 (13.11) の極は $s = -1/RC$ の1点。一般に、極 $s = p$ を持つシステムのインパルス応答には $e^{pt}$ という成分が現れる。

先回りされたな、そのとおりだ。極が全部左半平面にあれば安定、ひとつでも右半平面にあれば発散して不安定。境界の虚軸上なら減りも増えもしない持続振動だ。下のデモで、共役な極ペア $s = \sigma \pm j\omega$ を動かしてインパルス応答 $h(t) = e^{\sigma t}\cos\omega t$ の運命を見てみろ。

それが $s$ 平面の読み方だ。**横方向（$\sigma$）が生死を、縦方向（$\omega$）が振動を司る。**前章の IIR フィルタで 0.9 がセーフ、1.1 がアウトだった件も、次章で z 平面に持ち込めば同じ絵で説明がつく。

式 (13.10) の置き土産 $-f(0)$ が生き残るだけだ。RC 回路（$RC=1$）で $y(0) = y_0$ とすると、変換した式は $sY(s) - y_0 + Y(s) = X(s)$ となり、整理すれば

第1項は初期値 0 のときと同じ $H(s)X(s)$。第2項は逆変換すると $y_0 e^{-t}$、つまり最初にたまっていた電荷が勝手に抜けていく成分だ。応答が「入力由来」と「初期状態由来」の2つにきれいに分かれて、しかもどちらも同じ極 $s=-1$ が運命を決めている。深入りはしないが、初期値も特別扱い不要で同じ土俵に乗る、とだけ覚えておけ。