離散時間フーリエ変換

その通りだ。話の流れが読めてきたな。離散時間信号 $x[n]$ のスペクトルを求めたい。だがここで素直な疑問がある。フーリエ変換の式 (3.1) は

と、$t$ で積分していた。$x[n]$ はとびとびの数列で、積分する連続関数が無い。どうする?

直感は正しい。だが、なぜ和でいいのかをきちんと納得しておきたい。そのために、離散時間信号を一度だけ連続信号の言葉に翻訳してみる。$x[n]$ は時刻 $nT$ の値だったな。これを「時刻 $nT$ に重み $x[n]$ のデルタ関数を立てたもの」だと考える。

そうだ。トゲの列なら連続時間の関数として扱えるから、式 (3.1) にそのまま放り込める。デルタ関数の「つまみ出し性質」(3.4) が効いて、

積分とデルタ関数が握手して、きれいに和が残った。やる夫の直感どおりだろ。

いい言い方だ。式 (5.2) の指数の肩には、まだ連続時間角周波数 $\omega$（ここでは式 (3.1) の連続側の意味）と $T$ が残っている。だがここで第4章の主役を思い出せ。$\omega T$ はいつもセットで現れて、正規化角周波数になるんだったな。

その通り。記号を整理する。これ以降、肩に乗っているのは正規化角周波数（小文字 $\omega$、単位 rad/サンプル）だと約束する。すると $T$ は表から消えて、純粋に数列 $x[n]$ だけで書ける式になる。

整理した式に名前を付ける。これが離散時間フーリエ変換（Discrete-Time Fourier Transform、略して DTFT）だ。

数列 $x[n]$ に、調べたい周波数 $\omega$ の複素正弦波 $e^{-j\omega n}$ を掛けて、全サンプルにわたって足し合わせる。フーリエ変換 (3.1) の積分が和に変わっただけで、心は完全に同じだ。

鋭い。これはわざとだ。式 (5.3) の右辺をよく見ろ。$\omega$ は必ず $e^{-j\omega n}$、つまり $(e^{j\omega})^{-n}$ という形でしか出てこない。スペクトルは「$\omega$ そのもの」より「$e^{j\omega}$ という単位円上の点」の関数だと見るほうが本質に近い。$z = e^{j\omega}$ と置けば右辺は $\sum x[n]\, z^{-n}$ で、これは後の章でやる $z$ 変換そのものだ。$X(e^{j\omega})$ という書き方は、その伏線を兼ねている。

さて、この式には離散時間ならではの大事な性質が1つ宿っている。式 (5.3) の $\omega$ を $\omega + 2\pi$ に置き換えてみろ。

そうだ。だから

DTFT は必ず $2\pi$ 周期になる。これは特別な信号だけの話ではなく、$n$ が整数でありさえすればどんな $x[n]$ でも成り立つ、DTFT の宿命だ。

まさにそれだ。そして第3章の最後の予告 (3.8) を覚えているか。「時間側が周期的だと、周波数側は離散的になる」。今その鏡写しが起きている。

• 時間が連続・非周期（普通の信号）→ 周波数も連続・非周期（フーリエ変換）
• 時間が離散（数列）→ 周波数が周期的（DTFT、周期 $2\pi$）

「離散」と「周期的」が時間軸と周波数軸の間で入れ替わって対応する。この双対は、この先のサンプリング定理（第10章）でも DFT（次章）でも、形を変えて何度も顔を出す。下のデモで、いくつかの信号の振幅スペクトル $|X(e^{j\omega})|$ を見てみろ。

よく観察した。矩形パルスを選んで長さ $L$ を変えると、$\sin$ の比でできた山がうねる。指数減衰 $0.8^n u[n]$ なら $\omega = 0$ で一番高くてなだらかに落ちる。中身は信号ごとに違うが、$2\pi$ 周期だけは全員に共通だ。だから DTFT を見るときは、無限に続く繰り返しのうち $[-\pi, \pi]$ の1周期だけ見れば十分なんだ。

順方向 (5.3) で数列からスペクトルを作った。逆に、スペクトル $X(e^{j\omega})$ から元の数列 $x[n]$ を取り戻す式が離散時間フーリエ逆変換だ。

両方とも本質を突いている。1つ目から。なぜ積分が $[-\pi, \pi]$ の1周期で済むか。$X(e^{j\omega})$ は $2\pi$ 周期で、その外は同じ形の繰り返しだったな。同じ情報を何周分も積分しても無駄なだけだ。元の数列を復元するのに必要な情報は1周期分にすべて入っているから、1周期 $[-\pi, \pi]$ を積分すれば足りる。

その対比のつかみ方がいい。2つ目の「順が和・逆が積分」というねじれも、まさに今の双対の表れだ。順方向は離散な時間 $n$ で和を取り、逆方向は連続な周波数 $\omega$ で積分する。時間と周波数で「離散↔連続」が入れ替わっているから、足し方も「和↔積分」で入れ替わる。

簡単な場合で確かめてみよう。$x[n] = \delta[n]$（$n=0$ だけ $1$、あとは $0$）なら、DTFT は (5.3) より $X(e^{j\omega}) = e^{-j\omega \cdot 0} = 1$。これを逆変換 (5.5) に入れると

$n = 0$ なら被積分関数は $1$ で、積分は $2\pi$、$1/2\pi$ を掛けて $x[0] = 1$。$n \ne 0$ なら $e^{j\omega n}$ を $[-\pi, \pi]$ で積分すると、$\sin$ が端でぴったり打ち消し合って $0$。ちゃんと $\delta[n]$ に戻った。$1/2\pi$ という係数は、この帳尻を合わせるために付いている。

…とてもいいところに気づいた。それがまさに次章の出発点だ。DTFT は理論としては完璧だが、$\omega$ が連続なせいでそのままではコンピュータに乗らない。時間を離散化したのと同じ手口を、今度は周波数に対してやる。そうして生まれるのが離散フーリエ変換（DFT）、実際の計算で使う本命だ。